Polynomdivision mit Textverarbeitung - Versionsgeschichte

Ukalina am 26. September 2022 um 15:08 Uhr

2022-09-26T15:08:11Z

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Zeile 82:		Zeile 82:
	: (x^3 +2x^2 -13x '''+12''') / (x -1)		: (x^3 +2x^2 -13x '''+12''') / (x -1)

	~~Ansatz:~~		Es lässt sich leicht nachprüfen, dass x =1 keine Nullstelle des Polynoms ist. Daher existiert ein Polynom-Rest, der die Form '''R / (x -1)''' besitzt.
	~~: (~~x~~^3 +2x^2~~ -13x +12) = (ax^2 +bx +c) *(x -1) '''~~+R'''~~

	: x^3 +2x^2 -13x +10		Der Ansatz lautet nun:
	: = (ax^2 +bx +c) *(x -1) '''+R'''		: (x^3 +2x^2 -13x +12) / (x -1) = ax^2 +bx +c '''+R /(x -1)'''
			Durch Multiplikation mit dem Nenner (x-1) auf beiden Seiten der Gleichung erhält man zunächst:
			: x^3 +2x^2 -13x +12 = (ax^2 +bx +c) * (x-1) '''+R'''
			Nun werden auf der rechten Seite der Gleichung die Klammern ausmultipliziert:
			: x3 +2x^2 -13x +12
			: = (ax^2 +bx +c) *(x -1) '''+R'''
	: = ax^3 +bx^2 +cx -ax^2 -bx -c '''+R'''		: = ax^3 +bx^2 +cx -ax^2 -bx -c '''+R'''
	: = ax^3 +(b -a)x^2 +(c -b)x -c '''+R'''		: = ax^3 +(b -a)x^2 +(c -b)x -c '''+R'''

	Durch ~~den Koeffizientenvergleich~~ erhält man wie oben:		Durch Vergleich und rekursives Einsetzen der Koeffizienten von x^3, x^2 und x erhält man zunächst wie oben:
	: a =1 ; b =3 ; c =-10		: a =1 ; b =3 ; c =-10.
	~~und im~~ letzten Schritt durch Vergleich des absoluten Gliedes:		Im letzten Schritt erhält man durch Vergleich des absoluten Gliedes:
	: -c '''+R''' ~~=12~~		: 12 = -c '''+R'''
	: 10 '''+R''' ~~=12~~		: 12 = -(-10) '''+R'''
	: '''R''' =2		: '''R''' =2
			Setzt man die Werte von a, b, c und R in die Ansatz-Gleichung ein, so erhält man das Ergebnis:
	Ergebnis:		: (x^3 +2x^2 -13x +12) / (x -1) = x^2 +3x -10 '''+2 /(x -1)'''
	: (x^3 +2x^2 -13x +12) / (x -1)
	: =x^2 +3x -10 +2/(x -1)

	==== Verallgemeinerung auf beliebige Polynome 4. Grades====		==== Verallgemeinerung auf beliebige Polynome 4. Grades====

Ukalina am 26. September 2022 um 14:10 Uhr

2022-09-26T14:10:08Z

← Nächstältere Version		Version vom 26. September 2022, 16:10 Uhr
Zeile 49:		Zeile 49:
	Ansatz: Die Division eines Polynom 3. Grades durch (x -1) ergibt als Ergebnis ein Polynom 2. Grades ax^2 +bx +c mit den zunächst unbekannten Koeffizienten a, b und c:		Ansatz: Die Division eines Polynom 3. Grades durch (x -1) ergibt als Ergebnis ein Polynom 2. Grades ax^2 +bx +c mit den zunächst unbekannten Koeffizienten a, b und c:

	: (x^3 +2x^2 -13x +10) / (x -1) = ax^2 +bx +c \| *(x -1)		: (x^3 +2x^2 -13x +10) / (x -1) = ax^2 +bx +c
			Durch Multiplikation mit dem Nenner (x -1) auf beiden Seiten der Gleichung erhält man
	: x^3 +2x^2 -13x +10		: x^3 +2x^2 -13x +10
	: = (ax^2 +bx +c) *(x -1)		: = (ax^2 +bx +c) *(x -1)

Ukalina am 9. Juni 2008 um 10:38 Uhr

2008-06-09T10:38:13Z

← Nächstältere Version		Version vom 9. Juni 2008, 12:38 Uhr
Zeile 79:		Zeile 79:
	====Polynomdivisionen, die nicht "ohne Rest" aufgehen====		====Polynomdivisionen, die nicht "ohne Rest" aufgehen====
	Beispiel:		Beispiel:
	: (x^3 +2x^2 -13x +12) / (x -1)		: (x^3 +2x^2 -13x '''+12''') / (x -1)

	Ansatz:		Ansatz:
Zeile 97:		Zeile 97:

	Ergebnis:		Ergebnis:
	: (x^3 +2x^2 -13x ~~'''~~+12~~'''~~) / (x -1)		: (x^3 +2x^2 -13x +12) / (x -1)
	: =x^2 +3x -10 +2/(x -1)		: =x^2 +3x -10 +2/(x -1)

Ukalina am 9. Juni 2008 um 10:37 Uhr

2008-06-09T10:37:13Z

← Nächstältere Version		Version vom 9. Juni 2008, 12:37 Uhr
Zeile 30:		Zeile 30:
	'''Gezieltes Erraten einer Nullstelle'''		'''Gezieltes Erraten einer Nullstelle'''

	Die Grundidee besteht nun darin, eine Nullstelle x_1 zu "erraten" und dann das Polynom durch den Ausdruck (x -x_1) zu teilen, um ein "~~Restpolynom~~" geringeren Grades zu erhalten, das dann die eventuell außerdem noch vorhandenen Nullstellen besitzt.		Die Grundidee besteht nun darin, eine Nullstelle x_1 zu "erraten" und dann das Polynom durch den Ausdruck (x -x_1) zu teilen, um ein "Teilpolynom" geringeren Grades zu erhalten, das dann die eventuell außerdem noch vorhandenen Nullstellen besitzt.

	Es bietet sich an, diejenigen ganzen Zahlen als Nullstellen zu überprüfen, die als Faktor im absoluten Glied 10 enthalten sind. Dies sind die Zahlen:		Es bietet sich an, diejenigen ganzen Zahlen als Nullstellen zu überprüfen, die als Faktor im absoluten Glied 10 enthalten sind. Dies sind die Zahlen:
Zeile 50:		Zeile 50:

	: (x^3 +2x^2 -13x +10) / (x -1) = ax^2 +bx +c \| *(x -1)		: (x^3 +2x^2 -13x +10) / (x -1) = ax^2 +bx +c \| *(x -1)
	: (x^3 +2x^2 -13x +10) = (ax^2 +bx +c) *(x -1)		: x^3 +2x^2 -13x +10
	: ~~x^3 +2x^2 -13x +10~~ = ax^3 +bx^2 +cx -ax^2 -bx -c		: = (ax^2 +bx +c) *(x -1)
	: ~~x^3 +2x^2 -13x +10~~ = ax^3 +(b -a)x^2 +(c -b)x -c		: = ax^3 +bx^2 +cx -ax^2 -bx -c
			: = ax^3 +(b -a)x^2 +(c -b)x -c

	Man erkennt sofort durch Vergleich der Koeffizienten vor x^3:		Man erkennt sofort durch Vergleich der Koeffizienten vor x^3:
	: a =1		: '''a =1'''

	Durch ~~Vergleich des absoluten Gliedes~~ erhält man:		Durch rekursives Einsetzen in die anderen Koeffizienten-Ausdrücke erhält man:
	: -c =10		: b -a =2
	: c =-10		: b -1 =2
			: '''b =3'''
			:
			: c -b =-13
			: c -3 =-13
			: '''c =-10'''

	~~Durch Vergleich der Koeffizienten in den quadratischen Termen erhält~~ man		Zur Kontrolle kann man noch c mit dem absoluten Glied vergleichen:
	: 2 =~~b -a~~		: -c =10
	: 2 =b -1		: c =-10
	~~: b =3~~

	~~Zur Kontrolle kann man noch die Koeffizienten in den linearen Termen vergleichen:~~		Ergebnis: Das gesuchte quadratische Teilpolynom lautet:
	~~: -13 =c -b~~
	: ~~-13 =-10 -3~~

	~~Ergebnis~~:
	: ax^2 +bx +c =x^2 +3x -10		: ax^2 +bx +c =x^2 +3x -10

	Man sieht, dass dies genau dem "Zwischenpolynom" entspricht, das beim Basteln des Polynoms durch Ausmultiplizieren der beiden ersten Klammern entstanden ist.		Man sieht, dass dies genau dem "Zwischenpolynom" entspricht, das beim Basteln des Polynoms durch Ausmultiplizieren der beiden ersten Klammern entstanden ist.
	Man kann nun die pq-Formel auf das Polynom x^2 +3x -10 anwenden, um die beiden anderen Nullstellen zu berechnen.		Man kann nun die pq-Formel auf das Polynom x^2 +3x -10 anwenden, um die beiden anderen Nullstellen zu berechnen.

			====Polynomdivisionen, die nicht "ohne Rest" aufgehen====
			Beispiel:
			: (x^3 +2x^2 -13x +12) / (x -1)

			Ansatz:
			: (x^3 +2x^2 -13x +12) = (ax^2 +bx +c) *(x -1) '''+R'''

			: x^3 +2x^2 -13x +10
			: = (ax^2 +bx +c) *(x -1) '''+R'''
			: = ax^3 +bx^2 +cx -ax^2 -bx -c '''+R'''
			: = ax^3 +(b -a)x^2 +(c -b)x -c '''+R'''

			Durch den Koeffizientenvergleich erhält man wie oben:
			: a =1 ; b =3 ; c =-10
			und im letzten Schritt durch Vergleich des absoluten Gliedes:
			: -c '''+R''' =12
			: 10 '''+R''' =12
			: '''R''' =2

			Ergebnis:
			: (x^3 +2x^2 -13x '''+12''') / (x -1)
			: =x^2 +3x -10 +2/(x -1)

	==== Verallgemeinerung auf beliebige Polynome 4. Grades====		==== Verallgemeinerung auf beliebige Polynome 4. Grades====
	Das vorgestellte Verfahren lässt sich verallgemeinern. Sei z eine bekannte Nullstelle eines gegebenen Polynoms vierten Grades mit den Koeffizienten a_4, a_3, a_2, a_1 und a_0. Das ganzrationale ~~Ergebnispolynom~~ dritten Grades besitze die Koeffizienten b_3, b_2, b_1 und b_0.		Das vorgestellte Verfahren lässt sich verallgemeinern. Sei '''z eine bekannte Nullstelle''' eines gegebenen Polynoms vierten Grades mit den Koeffizienten a_4, a_3, a_2, a_1 und a_0. Das ganzrationale Teilpolynom dritten Grades besitze die Koeffizienten b_3, b_2, b_1 und b_0.

	: a_4x^4 +a_3x^3 +a_2x^2 +a_1x +a_0		: a_4x^4 +a_3x^3 +a_2x^2 +a_1x +a_0
Zeile 85:		Zeile 109:

	Durch Koeffizientenvergleich erhält man:		Durch Koeffizientenvergleich erhält man:
	: b_3 =a_4		: '''b_3 =a_4'''

	: b_2 -b_3*z =a_3		: b_2 -b_3*z =a_3
	: b_2 = a_3 +b_3*z		: b_2 = a_3 +b_3*z
	: b_2 = a_3 +a_4*z		: '''b_2 = a_3 +a_4*z'''

	: b_1 -b_2*z =a_2		: b_1 -b_2*z =a_2
	: b_1 =a_2 +b_2*z		: b_1 =a_2 +b_2*z
	: b_1 =a_2 +(a_4z +a_3)z		: b_1 =a_2 +(a_4z +a_3)z
	: b_1 =a_2 +a_3z +a_4z^2		: '''b_1 =a_2 +a_3z +a_4z^2'''

	: b_0 -b_1*z =a_1		: b_0 -b_1*z =a_1
	: b_0 =a_1 +b_1*z		: b_0 =a_1 +b_1*z
	: b_0 =a_1 +(a_2 +a_3z +a_4z^2)*z		: b_0 =a_1 +(a_2 +a_3z +a_4z^2)*z
	: b_0 =a_1 +a_2z +a_3z^2 +a_4*z^3		: '''b_0 =a_1 +a_2z +a_3z^2 +a_4*z^3'''

	Zur Kontrolle kann man noch ausnutzen:		Zur Kontrolle kann man noch ausnutzen:
Zeile 122:		Zeile 146:
	: (a_nx^n +a_{n-1}x^{n-1} + ... +a_1x +a_0) =(b_{n-1}x^{n-1} +b_{n-2}x^{n-2} + ... +b_1x +b_0) *(x -z)		: (a_nx^n +a_{n-1}x^{n-1} + ... +a_1x +a_0) =(b_{n-1}x^{n-1} +b_{n-2}x^{n-2} + ... +b_1x +b_0) *(x -z)
	Dann gilt für i \in \N mit 0 <= i < n :		Dann gilt für i \in \N mit 0 <= i < n :
	: b_i =a_nz^{n-1} +a_{n-1}z^{n-2} + ... +a_{i+2}*z +a_{i+1}		: '''b_i =a_nz^{n-1} +a_{n-1}z^{n-2} + ... +a_{i+2}*z +a_{i+1}'''


Zeile 134:		Zeile 158:


	Ulrich Kalina, blista Marburg, 15.03.2008		Ulrich Kalina, blista Marburg, 09.06.2008

Ukalina am 15. März 2008 um 13:44 Uhr

2008-03-15T13:44:43Z

← Nächstältere Version		Version vom 15. März 2008, 15:44 Uhr
Zeile 45:		Zeile 45:
	Hierfür gibt es nun verschiedene Verfahrensvarianten, die im Einzelnen vorgestellt und anschließend unter methodischen Gesichtspunkten miteinander verglichen werden sollen.		Hierfür gibt es nun verschiedene Verfahrensvarianten, die im Einzelnen vorgestellt und anschließend unter methodischen Gesichtspunkten miteinander verglichen werden sollen.

	===Polynomdivision ~~Variante 1: "~~Koeffizientenvergleich"===		===Polynomdivision durch Koeffizientenvergleich ===

	Ansatz: Die Division eines Polynom 3. Grades durch (x -1) ergibt als Ergebnis ein Polynom 2. Grades ax^2 +bx +c mit den zunächst unbekannten Koeffizienten a, b und c:		Ansatz: Die Division eines Polynom 3. Grades durch (x -1) ergibt als Ergebnis ein Polynom 2. Grades ax^2 +bx +c mit den zunächst unbekannten Koeffizienten a, b und c:
Zeile 76:		Zeile 76:
	Man kann nun die pq-Formel auf das Polynom x^2 +3x -10 anwenden, um die beiden anderen Nullstellen zu berechnen.		Man kann nun die pq-Formel auf das Polynom x^2 +3x -10 anwenden, um die beiden anderen Nullstellen zu berechnen.

	===~~Polynomdivision Variante 2: "schrittweise Bestimmung des Restpolynoms"~~===		==== Verallgemeinerung auf beliebige Polynome 4. Grades====
			Das vorgestellte Verfahren lässt sich verallgemeinern. Sei z eine bekannte Nullstelle eines gegebenen Polynoms vierten Grades mit den Koeffizienten a_4, a_3, a_2, a_1 und a_0. Das ganzrationale Ergebnispolynom dritten Grades besitze die Koeffizienten b_3, b_2, b_1 und b_0.

	==~~==1. Schritt~~: =~~===~~		: a_4x^4 +a_3x^3 +a_2x^2 +a_1x +a_0
	~~Teilen des Ausgangspolynoms~~ 3~~. Grades durch den Ausdruck~~ (x -1)~~, um ein Polynom 2. Grades zu erhalten, das die beiden noch unbekannten Nullstellen besitzt:~~		: =(b_3x^3 +b_2x^2 +b_1x +b_0) *(x -z)
			: =b_3x^4 +b_2x^3 +b_1x^2 +b_0x -b_3zx^3 -b_2zx^2 -b_1zx -b_0*z
			: =b_3x^4 +(b_2 -b_3z)x^3 +(b_1 -b_2z)x^2 +(b_0 -b_1z)x -b_0z

	: ~~(x^3 +2x^2 -13x +10) / (x -1)~~ = ?		Durch Koeffizientenvergleich erhält man:
			: b_3 =a_4

	~~Wenn man in jeder Klammer nur den jeweils vorderen x~~-~~Ausdruck betrachtet, ergibt sich~~: ~~x^3 / x~~ =x^2. Dies ist natürlich nur ein sehr grobes Ergebnis, da wir ja die anderen Summanden in den Klammern nicht berücksichtigt haben. Um diesen "Fehler" zu kompensieren, addieren wir zum Ausgleich den "Restausdruck" A zum Ergebnis:		: b_2 -b_3*z =a_3
			: b_2 = a_3 +b_3*z
			: b_2 = a_3 +a_4*z

	: ~~(x^3 +2x^2~~ -~~13x +10) / (x -1)~~ = ~~x^2~~ +~~A \|~~ *~~(x -1)~~		: b_1 -b_2*z =a_2
	: ~~x^3~~ +~~2x^2 -13x~~ +~~10 = x^2 (x -1~~) +A ~~(x -1)~~		: b_1 =a_2 +b_2*z
	: ~~x^3 +2x^2 -13x +10~~ = ~~x^3 -x^2~~ +A *~~(x -1) \| -x^3~~ +~~x^2~~		: b_1 =a_2 +(a_4z +a_3)z
	~~: 3x^2 -13x +10 =A~~ *~~(x -1) \| /(x -1)~~		: b_1 =a_2 +a_3z +a_4z^2
	~~: 3x~~^2 ~~-13x +10 / (x -1) = A~~

	====2~~. Schritt~~: =~~===~~		: b_0 -b_1*z =a_1
	~~Wiederholung des 1. Schrittes mit dem Ausgangspolynom A und dem "Restausdruck" B:~~		: b_0 =a_1 +b_1*z
			: b_0 =a_1 +(a_2 +a_3z +a_4z^2)*z
			: b_0 =a_1 +a_2z +a_3z^2 +a_4*z^3

	: ~~A =3x^2 -13x +10 / (x -1) =3x +B \| *(x -1)~~		Zur Kontrolle kann man noch ausnutzen:
	: ~~3x^2~~ -~~13x +10 =3x~~ ~~(x -1) +B (x -1)~~		: -b_0*z =a_0
	~~: 3x^2 -13x +10~~ =~~3x^2 -3x +B *(x -1) \| -3x^2 +3x~~		: b_0 =-a_0
	: ~~-10x +10~~ =~~B *(x -1) \| / (x -1)~~
	~~: (~~-~~10x +10) / (x -1) =B~~

	====~~3. Schritt~~: ====		Beispiel:
	~~Wiederholung des~~ 1~~. Schrittes mit Ausgangspolynom B und Restausdruck C:~~		: (x^4 -1) =(b_3x^3 +b_2x^2 +b_1x +b_0) *(x -1)
			: b_3 =a_4 =1
			: b_2 =a_3 +b_3z =0 +11 =1
			: b_1 =a_2 +a_3z +a_4z^2 =0 +0 +1*1^2 =1
			: b_0 =a_1 +a_2z +a_3z^2 +a_4z^3 =0 +0 + 0 +11^3 =1

	: B =(-~~10x +10~~) / (x -1) =~~-10~~ +~~C \|~~ *(x -1)		Kontrolle:
	: -~~10x~~ +~~10 =-10x~~ +10 +C*(x -1~~) \|~~ +~~10x~~ -10		b_0 =-a_0 =-(-1) =1
	~~: 0 =C *(~~x -1)
	(x -1) ~~kann nicht~~ 0 ~~sein, denn sonst hätte man von Anfang an nicht dadurch dividieren dürfen. Daher bleibt nur~~:		'''Ergebnis:'''
	: C =0		: (x^4 -1) =(x^3 +x^2 +x +1)*(x -1)

			=== Verallgemeinerung auf Polynome vom Grade n mit Nullstelle z ===
			Ansatz:
			: (a_nx^n +a_{n-1}x^{n-1} + ... +a_1x +a_0) =(b_{n-1}x^{n-1} +b_{n-2}x^{n-2} + ... +b_1x +b_0) *(x -z)
			Dann gilt für i \in \N mit 0 <= i < n :
			: b_i =a_nz^{n-1} +a_{n-1}z^{n-2} + ... +a_{i+2}*z +a_{i+1}

	~~====4. Schritt: ====~~
	~~Zusammenfassung mit schrittweiser Ersetzung von C, B und A:~~

	~~: (x^3 +2x^2 -13x +10) / (x -1)~~
	~~: = x^2 +A~~
	~~: = x^2 +3x +B~~
	~~: = x^2 +3x -10 +C~~
	~~: = x^2 +3x -10~~

	===Methodische Anmerkungen===		===Methodische Anmerkungen===
	~~Die zweite Variante der beiden hier vorgestellte Verfahren entspricht im Kern der bekannten Polynomdivision. Verschieden ist nur die Art des Aufschreibens:~~

	Bei der üblichen Polynomdivision entsteht eine "Treppenstruktur", bei der das korrekte Untereinanderschreiben entsprechender Ausdrücke wichtig ist - teilweise über mehrere Zeilen und "Leerräume" hinweg. Dies ist am PC - speziell bei Verwendung eines Screenreaders oder einer Vergrößerungssoftware - schwierig. Auch die "künstliche" Verpackung in eine Tabellenstruktur ist keine wirkliche Erleichterung.		Bei der üblichen Polynomdivision entsteht eine "Treppenstruktur", bei der das korrekte Untereinanderschreiben entsprechender Ausdrücke wichtig ist - teilweise über mehrere Zeilen und "Leerräume" hinweg. Dies ist am PC - speziell bei Verwendung eines Screenreaders oder einer Vergrößerungssoftware - schwierig. Auch die "künstliche" Verpackung in eine Tabellenstruktur ist keine wirkliche Erleichterung.

	Die konventionelle Form der Polynomdivision, die i.d.R. "von Hand" durchgeführt wird, kommt dafür mit geringem Schreibaufwand aus. Dieser Vorteil ist allerdings bei Verwendung einer Textverarbeitung nicht so entscheidend, da sie die Möglichkeit bietet, auch größere Ausdrücke von einer Zeile in die nächste einfach und schnell zu kopieren.		Die konventionelle Form der Polynomdivision, die i.d.R. "von Hand" durchgeführt wird, kommt dafür mit geringem Schreibaufwand aus. Dieser Vorteil ist allerdings bei Verwendung einer Textverarbeitung nicht so entscheidend, da sie die Möglichkeit bietet, auch größere Ausdrücke von einer Zeile in die nächste einfach und schnell zu kopieren.

	Eben diese Möglichkeit ist ~~in den beiden~~ hier vorgestellten Verfahren gut anwendbar, denn hier wird die Lösung schrittweise von einer Zeile zur nächsten Zeile entwickelt - ohne auf Leerräume und Spalten Rücksicht nehmen zu müssen.		Eben diese Möglichkeit ist bei dem hier vorgestellten Verfahren gut anwendbar, denn hier wird die Lösung schrittweise von einer Zeile zur nächsten Zeile entwickelt - ohne auf Leerräume und Spalten Rücksicht nehmen zu müssen.

	Die erste Variante (Koeffizientenvergleich) ist weniger schreibaufwendig als die zweite und ermöglicht dennoch ein zeilenorientiertes Vorgehen und einen Verzicht auf die Treppendarstellung. Allerdings funktioniert diese Variante nur, wenn die Division "ohne Rest aufgeht". Manchmal wird die Polynomdivision aber auch verwendet, um eine gebrochen-rationale Funktion in ihren ganz-rationalen und ihren echt-gebrochen-rationalen Teil aufzuspalten (Stichwort "Asymptotenbestimmung"). Hierfür eignet sich Variante 1 nicht, während Variante 2 auch hier zum Ziel führt.


	Ulrich Kalina, blista Marburg, 12.03.2008		Ulrich Kalina, blista Marburg, 15.03.2008

Ukalina am 11. März 2008 um 11:21 Uhr

2008-03-11T11:21:59Z

← Nächstältere Version		Version vom 11. März 2008, 13:21 Uhr
Zeile 2:		Zeile 2:
	__NOEDITSECTION__		__NOEDITSECTION__

	===Wir basteln uns ein Polynom===		===Vorbetrachtung: Wir basteln uns ein Polynom===
	Gesucht ist ein Polynom f dritten Grades mit den Nullstellen		Gesucht ist ein Polynom f dritten Grades mit den Nullstellen

	: x_1 =-5; x_2 =2 und x_3 =1		: x_1 =-5; x_2 =2 und x_3 =1

	~~====~~Lösungsansatz:~~====~~		'''Lösungsansatz:'''
	: f(x) =(x +5) (x -2) (x -1)		: f(x) =(x +5) (x -2) (x -1)

Zeile 13:		Zeile 12:

	Ausmultiplizieren der beiden vorderen Klammern:		Ausmultiplizieren der beiden vorderen Klammern:

	: f(x) =(x^2 +5x -2x -10) *(x -1)		: f(x) =(x^2 +5x -2x -10) *(x -1)
	: f(x) =(x^2 +3x -10) *(x -1)		: f(x) =(x^2 +3x -10) *(x -1)

	Ausmultiplizeren dieser beiden Klammern:		Ausmultiplizeren dieser beiden Klammern:

	: f(x) =x^3 +3x^2 -10x -x^2 -3x +10		: f(x) =x^3 +3x^2 -10x -x^2 -3x +10
	: f(x) =x^3 +2x^2 -13x +10		: f(x) =x^3 +2x^2 -13x +10

	Man erkennt, dass beim Ausmultiplizieren das absolute Glied 10 entstanden ist als Produkt der negativ genommenen Nullstellen:		Man erkennt, dass beim Ausmultiplizieren das absolute Glied 10 entstanden ist als Produkt der negativ genommenen Nullstellen:
			: 5 (-2) (-1) = 10

	: ~~5 (-2) (-1) = 10~~		'''Und jetzt umgekehrt:'''

	~~===Und jetzt umgekehrt:~~ Vom Polynom zu den Nullstellen durch Polynomdivision~~===~~		Vom Polynom zu den Nullstellen durch Polynomdivision
	Gesucht sind die Nullstellen des Polynoms		Gesucht sind die Nullstellen des Polynoms
			: f(x) =x^3 +2x^2 -13x +10

	~~: f(x) =x^3 +2x^2 -13x +10~~		'''Gezieltes Erraten einer Nullstelle'''

	~~====Gezieltes Erraten einer Nullstelle====~~
	Die Grundidee besteht nun darin, eine Nullstelle x_1 zu "erraten" und dann das Polynom durch den Ausdruck (x -x_1) zu teilen, um ein "Restpolynom" geringeren Grades zu erhalten, das dann die eventuell außerdem noch vorhandenen Nullstellen besitzt.		Die Grundidee besteht nun darin, eine Nullstelle x_1 zu "erraten" und dann das Polynom durch den Ausdruck (x -x_1) zu teilen, um ein "Restpolynom" geringeren Grades zu erhalten, das dann die eventuell außerdem noch vorhandenen Nullstellen besitzt.

Zeile 74:		Zeile 72:
	Ergebnis:		Ergebnis:
	: ax^2 +bx +c =x^2 +3x -10		: ax^2 +bx +c =x^2 +3x -10

			Man sieht, dass dies genau dem "Zwischenpolynom" entspricht, das beim Basteln des Polynoms durch Ausmultiplizieren der beiden ersten Klammern entstanden ist.
			Man kann nun die pq-Formel auf das Polynom x^2 +3x -10 anwenden, um die beiden anderen Nullstellen zu berechnen.

	===Polynomdivision Variante 2: "schrittweise Bestimmung des Restpolynoms"===		===Polynomdivision Variante 2: "schrittweise Bestimmung des Restpolynoms"===
Zeile 116:		Zeile 117:
	: = x^2 +3x -10 +C		: = x^2 +3x -10 +C
	: = x^2 +3x -10		: = x^2 +3x -10

	~~Man sieht, dass dies genau dem "Zwischenpolynom" entspricht, das beim Basteln des Polynoms durch Ausmultiplizieren der beiden ersten Klammern entstanden ist.~~

	~~====5. Schritt: ====~~
	~~Man kann nun die pq-Formel auf das Polynom x^2 +3x -10 anwenden, um die beiden anderen Nullstellen zu berechnen.~~




	===Methodische Anmerkungen===		===Methodische Anmerkungen===
	~~Das~~ hier vorgestellte Verfahren entspricht im Kern der bekannten Polynomdivision. Verschieden ist nur die Art des Aufschreibens:		Die zweite Variante der beiden hier vorgestellte Verfahren entspricht im Kern der bekannten Polynomdivision. Verschieden ist nur die Art des Aufschreibens:

	Bei der üblichen Polynomdivision entsteht eine "Treppenstruktur", bei der das korrekte Untereinanderschreiben entsprechender Ausdrücke wichtig ist - teilweise über mehrere Zeilen und "Leerräume" hinweg. Dies ist am PC - speziell bei Verwendung eines Screenreaders oder einer Vergrößerungssoftware - schwierig. Auch die "künstliche" Verpackung in eine Tabellenstruktur ist keine wirkliche Erleichterung.		Bei der üblichen Polynomdivision entsteht eine "Treppenstruktur", bei der das korrekte Untereinanderschreiben entsprechender Ausdrücke wichtig ist - teilweise über mehrere Zeilen und "Leerräume" hinweg. Dies ist am PC - speziell bei Verwendung eines Screenreaders oder einer Vergrößerungssoftware - schwierig. Auch die "künstliche" Verpackung in eine Tabellenstruktur ist keine wirkliche Erleichterung.
Zeile 132:		Zeile 125:
	Die konventionelle Form der Polynomdivision, die i.d.R. "von Hand" durchgeführt wird, kommt dafür mit geringem Schreibaufwand aus. Dieser Vorteil ist allerdings bei Verwendung einer Textverarbeitung nicht so entscheidend, da sie die Möglichkeit bietet, auch größere Ausdrücke von einer Zeile in die nächste einfach und schnell zu kopieren.		Die konventionelle Form der Polynomdivision, die i.d.R. "von Hand" durchgeführt wird, kommt dafür mit geringem Schreibaufwand aus. Dieser Vorteil ist allerdings bei Verwendung einer Textverarbeitung nicht so entscheidend, da sie die Möglichkeit bietet, auch größere Ausdrücke von einer Zeile in die nächste einfach und schnell zu kopieren.

	Eben diese Möglichkeit ist in ~~dem~~ hier vorgestellten Verfahren gut anwendbar, denn hier wird die Lösung schrittweise von einer Zeile zur nächsten Zeile entwickelt - ohne auf Leerräume und Spalten Rücksicht nehmen zu müssen.		Eben diese Möglichkeit ist in den beiden hier vorgestellten Verfahren gut anwendbar, denn hier wird die Lösung schrittweise von einer Zeile zur nächsten Zeile entwickelt - ohne auf Leerräume und Spalten Rücksicht nehmen zu müssen.

			Die erste Variante (Koeffizientenvergleich) ist weniger schreibaufwendig als die zweite und ermöglicht dennoch ein zeilenorientiertes Vorgehen und einen Verzicht auf die Treppendarstellung. Allerdings funktioniert diese Variante nur, wenn die Division "ohne Rest aufgeht". Manchmal wird die Polynomdivision aber auch verwendet, um eine gebrochen-rationale Funktion in ihren ganz-rationalen und ihren echt-gebrochen-rationalen Teil aufzuspalten (Stichwort "Asymptotenbestimmung"). Hierfür eignet sich Variante 1 nicht, während Variante 2 auch hier zum Ziel führt.


	Ulrich Kalina, blista Marburg, 29.02.2008		Ulrich Kalina, blista Marburg, 12.03.2008

Ukalina am 11. März 2008 um 10:22 Uhr

2008-03-11T10:22:28Z

@@ Zeile 47: / Zeile 47: @@
 Hierfür gibt es nun verschiedene Verfahrensvarianten, die im Einzelnen vorgestellt und anschließend unter methodischen Gesichtspunkten miteinander verglichen werden sollen.
-===Polynomdivision Variante 1: "schrittweise Bestimmung des Restpolynoms"===
+===Polynomdivision Variante 1: "Koeffizientenvergleich"===
 ====1. Schritt: ====
 Teilen des Ausgangspolynoms 3. Grades durch den Ausdruck (x -1), um ein Polynom 2. Grades zu erhalten, das die beiden noch unbekannten Nullstellen besitzt:
@@ Zeile 96: / Zeile 125: @@
-===Methodische Anmerkung===
+===Methodische Anmerkungen===
 Das hier vorgestellte Verfahren entspricht im Kern der bekannten Polynomdivision. Verschieden ist nur die Art des Aufschreibens:

Ukalina am 11. März 2008 um 08:33 Uhr

2008-03-11T08:33:53Z

← Nächstältere Version		Version vom 11. März 2008, 10:33 Uhr
Zeile 31:		Zeile 31:
	: f(x) =x^3 +2x^2 -13x +10		: f(x) =x^3 +2x^2 -13x +10

	====~~1. Schritt:~~====		====Gezieltes Erraten einer Nullstelle====
	~~Gezieltes Erraten einer~~ Nullstelle:		Die Grundidee besteht nun darin, eine Nullstelle x_1 zu "erraten" und dann das Polynom durch den Ausdruck (x -x_1) zu teilen, um ein "Restpolynom" geringeren Grades zu erhalten, das dann die eventuell außerdem noch vorhandenen Nullstellen besitzt.
	Es bietet sich an, diejenigen ganzen Zahlen zu überprüfen, die als Faktor im absoluten Glied 10 enthalten sind. Dies sind die Zahlen:
			Es bietet sich an, diejenigen ganzen Zahlen als Nullstellen zu überprüfen, die als Faktor im absoluten Glied 10 enthalten sind. Dies sind die Zahlen:
	+1, -1, +2, -2, +5, -5, +10 und -10.		+1, -1, +2, -2, +5, -5, +10 und -10.

Zeile 40:		Zeile 41:
	: f(1) =1^3 +21^2 -131 +10 =1 +2 -13 +10 =0		: f(1) =1^3 +21^2 -131 +10 =1 +2 -13 +10 =0

	====2. Schritt: ====		Die eigentliche Polynomdivison beginnt nun mit der Aufgabe, folgenden Ausdruck zu berechnen:

			: (x^3 +2x^2 -13x +10) / (x -1) = ?

			Hierfür gibt es nun verschiedene Verfahrensvarianten, die im Einzelnen vorgestellt und anschließend unter methodischen Gesichtspunkten miteinander verglichen werden sollen.

			===Polynomdivision Variante 1: "schrittweise Bestimmung des Restpolynoms"===
			====1. Schritt: ====
	Teilen des Ausgangspolynoms 3. Grades durch den Ausdruck (x -1), um ein Polynom 2. Grades zu erhalten, das die beiden noch unbekannten Nullstellen besitzt:		Teilen des Ausgangspolynoms 3. Grades durch den Ausdruck (x -1), um ein Polynom 2. Grades zu erhalten, das die beiden noch unbekannten Nullstellen besitzt:

Zeile 53:		Zeile 61:
	: 3x^2 -13x +10 / (x -1) = A		: 3x^2 -13x +10 / (x -1) = A

	====3. Schritt: ====		====2. Schritt: ====
	Wiederholung des 2. Schrittes mit dem Ausgangspolynom A und dem "Restausdruck" B:		Wiederholung des 1. Schrittes mit dem Ausgangspolynom A und dem "Restausdruck" B:

	: A =3x^2 -13x +10 / (x -1) =3x +B \| *(x -1)		: A =3x^2 -13x +10 / (x -1) =3x +B \| *(x -1)
Zeile 62:		Zeile 70:
	: (-10x +10) / (x -1) =B		: (-10x +10) / (x -1) =B

	====4. Schritt: ====		====3. Schritt: ====
	Wiederholung des 2. Schrittes mit Ausgangspolynom B und Restausdruck C:		Wiederholung des 1. Schrittes mit Ausgangspolynom B und Restausdruck C:

	: B =(-10x +10) / (x -1) =-10 +C \| *(x -1)		: B =(-10x +10) / (x -1) =-10 +C \| *(x -1)
Zeile 71:		Zeile 79:
	: C =0		: C =0

	====5. Schritt: ====		====4. Schritt: ====
	Zusammenfassung mit schrittweiser Ersetzung von C, B und A:		Zusammenfassung mit schrittweiser Ersetzung von C, B und A:

Zeile 82:		Zeile 90:
	Man sieht, dass dies genau dem "Zwischenpolynom" entspricht, das beim Basteln des Polynoms durch Ausmultiplizieren der beiden ersten Klammern entstanden ist.		Man sieht, dass dies genau dem "Zwischenpolynom" entspricht, das beim Basteln des Polynoms durch Ausmultiplizieren der beiden ersten Klammern entstanden ist.

	====6. Schritt: ====		====5. Schritt: ====
	Man kann nun die pq-Formel auf das Polynom x^2 +3x -10 anwenden, um die beiden anderen Nullstellen zu berechnen.		Man kann nun die pq-Formel auf das Polynom x^2 +3x -10 anwenden, um die beiden anderen Nullstellen zu berechnen.




	===Methodische Anmerkung===		===Methodische Anmerkung===

Ukalina am 29. Februar 2008 um 19:06 Uhr

2008-02-29T19:06:13Z

← Nächstältere Version		Version vom 29. Februar 2008, 21:06 Uhr
Zeile 66:		Zeile 66:

	: B =(-10x +10) / (x -1) =-10 +C \| *(x -1)		: B =(-10x +10) / (x -1) =-10 +C \| *(x -1)
	: -10x +10 =-10x +10 +C \| +10x -10		: -10x +10 =-10x +10 +C*(x -1) \| +10x -10
			: 0 =C *(x -1)
			(x -1) kann nicht 0 sein, denn sonst hätte man von Anfang an nicht dadurch dividieren dürfen. Daher bleibt nur:
	: C =0		: C =0

	====5. Schritt: ====		====5. Schritt: ====
	Zusammenfassung mit schrittweiser Ersetzung von A, B und C:		Zusammenfassung mit schrittweiser Ersetzung von C, B und A:

	: (x^3 +2x^2 -13x +10) / (x -1)		: (x^3 +2x^2 -13x +10) / (x -1)

Ukalina am 29. Februar 2008 um 12:20 Uhr

2008-02-29T12:20:42Z

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__NOTOC__
__NOEDITSECTION__

===Wir basteln uns ein Polynom===
Gesucht ist ein Polynom f dritten Grades mit den Nullstellen

: x_1 =-5; x_2 =2 und x_3 =1

====Lösungsansatz:====
: f(x) =(x +5) *(x -2) *(x -1)

Jede der drei Nullstellen bewirkt beim Einsetzen in die Gleichung, dass genau eine der drei Klammern zu 0 wird - und damit das ganze Produkt aller drei Klammern.

Ausmultiplizieren der beiden vorderen Klammern:

: f(x) =(x^2 +5x -2x -10) *(x -1)
: f(x) =(x^2 +3x -10) *(x -1)

Ausmultiplizeren dieser beiden Klammern:

: f(x) =x^3 +3x^2 -10x -x^2 -3x +10
: f(x) =x^3 +2x^2 -13x +10

Man erkennt, dass beim Ausmultiplizieren das absolute Glied 10 entstanden ist als Produkt der negativ genommenen Nullstellen:

: 5 *(-2) *(-1) = 10

===Und jetzt umgekehrt: Vom Polynom zu den Nullstellen durch Polynomdivision===
Gesucht sind die Nullstellen des Polynoms

: f(x) =x^3 +2x^2 -13x +10

====1. Schritt:====
Gezieltes Erraten einer Nullstelle:
Es bietet sich an, diejenigen ganzen Zahlen zu überprüfen, die als Faktor im absoluten Glied 10 enthalten sind. Dies sind die Zahlen:
+1, -1, +2, -2, +5, -5, +10 und -10.

Überprüfung der Zahl 1 führt zum Erfolg:

: f(1) =1^3 +2*1^2 -13*1 +10 =1 +2 -13 +10 =0

====2. Schritt: ====
Teilen des Ausgangspolynoms 3. Grades durch den Ausdruck (x -1), um ein Polynom 2. Grades zu erhalten, das die beiden noch unbekannten Nullstellen besitzt:

: (x^3 +2x^2 -13x +10) / (x -1) = ?

Wenn man in jeder Klammer nur den jeweils vorderen x-Ausdruck betrachtet, ergibt sich: x^3 / x =x^2. Dies ist natürlich nur ein sehr grobes Ergebnis, da wir ja die anderen Summanden in den Klammern nicht berücksichtigt haben. Um diesen "Fehler" zu kompensieren, addieren wir zum Ausgleich den "Restausdruck" A zum Ergebnis:

: (x^3 +2x^2 -13x +10) / (x -1) = x^2 +A | *(x -1)
: x^3 +2x^2 -13x +10 = x^2 *(x -1) +A *(x -1)
: x^3 +2x^2 -13x +10 = x^3 -x^2 +A *(x -1) | -x^3 +x^2
: 3x^2 -13x +10 =A *(x -1) | /(x -1)
: 3x^2 -13x +10 / (x -1) = A

====3. Schritt: ====
Wiederholung des 2. Schrittes mit dem Ausgangspolynom A und dem "Restausdruck" B:

: A =3x^2 -13x +10 / (x -1) =3x +B | *(x -1)
: 3x^2 -13x +10 =3x *(x -1) +B *(x -1)
: 3x^2 -13x +10 =3x^2 -3x +B *(x -1) | -3x^2 +3x
: -10x +10 =B *(x -1) | / (x -1)
: (-10x +10) / (x -1) =B

====4. Schritt: ====
Wiederholung des 2. Schrittes mit Ausgangspolynom B und Restausdruck C:

: B =(-10x +10) / (x -1) =-10 +C | *(x -1)
: -10x +10 =-10x +10 +C | +10x -10
: C =0

====5. Schritt: ====
Zusammenfassung mit schrittweiser Ersetzung von A, B und C:

: (x^3 +2x^2 -13x +10) / (x -1)
: = x^2 +A
: = x^2 +3x +B
: = x^2 +3x -10 +C
: = x^2 +3x -10

Man sieht, dass dies genau dem "Zwischenpolynom" entspricht, das beim Basteln des Polynoms durch Ausmultiplizieren der beiden ersten Klammern entstanden ist.

====6. Schritt: ====
Man kann nun die pq-Formel auf das Polynom x^2 +3x -10 anwenden, um die beiden anderen Nullstellen zu berechnen.

===Methodische Anmerkung===
Das hier vorgestellte Verfahren entspricht im Kern der bekannten Polynomdivision. Verschieden ist nur die Art des Aufschreibens:

Bei der üblichen Polynomdivision entsteht eine "Treppenstruktur", bei der das korrekte Untereinanderschreiben entsprechender Ausdrücke wichtig ist - teilweise über mehrere Zeilen und "Leerräume" hinweg. Dies ist am PC - speziell bei Verwendung eines Screenreaders oder einer Vergrößerungssoftware - schwierig. Auch die "künstliche" Verpackung in eine Tabellenstruktur ist keine wirkliche Erleichterung.

Die konventionelle Form der Polynomdivision, die i.d.R. "von Hand" durchgeführt wird, kommt dafür mit geringem Schreibaufwand aus. Dieser Vorteil ist allerdings bei Verwendung einer Textverarbeitung nicht so entscheidend, da sie die Möglichkeit bietet, auch größere Ausdrücke von einer Zeile in die nächste einfach und schnell zu kopieren.

Eben diese Möglichkeit ist in dem hier vorgestellten Verfahren gut anwendbar, denn hier wird die Lösung schrittweise von einer Zeile zur nächsten Zeile entwickelt - ohne auf Leerräume und Spalten Rücksicht nehmen zu müssen.

Ulrich Kalina, blista Marburg, 29.02.2008