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(06 1) Lösen von Gleichungen - Versionsgeschichte
2024-03-29T14:59:39Z
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Stephan: /* Quadratische Gleichungen */
2007-02-07T18:01:52Z
<p><span dir="auto"><span class="autocomment">Quadratische Gleichungen</span></span></p>
<table style="background-color: #fff; color: #202122;" data-mw="interface">
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<td colspan="2" style="background-color: #fff; color: #202122; text-align: center;">← Nächstältere Version</td>
<td colspan="2" style="background-color: #fff; color: #202122; text-align: center;">Version vom 7. Februar 2007, 18:01 Uhr</td>
</tr><tr><td colspan="2" class="diff-lineno" id="mw-diff-left-l39">Zeile 39:</td>
<td colspan="2" class="diff-lineno">Zeile 39:</td></tr>
<tr><td class="diff-marker"></td><td style="background-color: #f8f9fa; color: #202122; font-size: 88%; border-style: solid; border-width: 1px 1px 1px 4px; border-radius: 0.33em; border-color: #eaecf0; vertical-align: top; white-space: pre-wrap;"><div>==Quadratische Gleichungen==</div></td><td class="diff-marker"></td><td style="background-color: #f8f9fa; color: #202122; font-size: 88%; border-style: solid; border-width: 1px 1px 1px 4px; border-radius: 0.33em; border-color: #eaecf0; vertical-align: top; white-space: pre-wrap;"><div>==Quadratische Gleichungen==</div></td></tr>
<tr><td class="diff-marker"></td><td style="background-color: #f8f9fa; color: #202122; font-size: 88%; border-style: solid; border-width: 1px 1px 1px 4px; border-radius: 0.33em; border-color: #eaecf0; vertical-align: top; white-space: pre-wrap;"><div>'''Erwartete Ergebnisse: Quadratische Gleichungen'''</div></td><td class="diff-marker"></td><td style="background-color: #f8f9fa; color: #202122; font-size: 88%; border-style: solid; border-width: 1px 1px 1px 4px; border-radius: 0.33em; border-color: #eaecf0; vertical-align: top; white-space: pre-wrap;"><div>'''Erwartete Ergebnisse: Quadratische Gleichungen'''</div></td></tr>
<tr><td colspan="2"></td><td class="diff-marker" data-marker="+"></td><td style="color: #202122; font-size: 88%; border-style: solid; border-width: 1px 1px 1px 4px; border-radius: 0.33em; border-color: #a3d3ff; vertical-align: top; white-space: pre-wrap;"><div><ins style="font-weight: bold; text-decoration: none;"></ins></div></td></tr>
<tr><td class="diff-marker"></td><td style="background-color: #f8f9fa; color: #202122; font-size: 88%; border-style: solid; border-width: 1px 1px 1px 4px; border-radius: 0.33em; border-color: #eaecf0; vertical-align: top; white-space: pre-wrap;"><div>> gl3:=x^2+5*x-6=0;solve(gl3);</div></td><td class="diff-marker"></td><td style="background-color: #f8f9fa; color: #202122; font-size: 88%; border-style: solid; border-width: 1px 1px 1px 4px; border-radius: 0.33em; border-color: #eaecf0; vertical-align: top; white-space: pre-wrap;"><div>> gl3:=x^2+5*x-6=0;solve(gl3);</div></td></tr>
<tr><td class="diff-marker"></td><td style="background-color: #f8f9fa; color: #202122; font-size: 88%; border-style: solid; border-width: 1px 1px 1px 4px; border-radius: 0.33em; border-color: #eaecf0; vertical-align: top; white-space: pre-wrap;"><br/></td><td class="diff-marker"></td><td style="background-color: #f8f9fa; color: #202122; font-size: 88%; border-style: solid; border-width: 1px 1px 1px 4px; border-radius: 0.33em; border-color: #eaecf0; vertical-align: top; white-space: pre-wrap;"><br/></td></tr>
</table>
Stephan
https://www.augenbit.de/wiki/index.php?title=(06_1)_L%C3%B6sen_von_Gleichungen&diff=1885&oldid=prev
MichaelSchaeffler am 1. Februar 2007 um 15:23 Uhr
2007-02-01T15:23:23Z
<p></p>
<table style="background-color: #fff; color: #202122;" data-mw="interface">
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<td colspan="2" style="background-color: #fff; color: #202122; text-align: center;">← Nächstältere Version</td>
<td colspan="2" style="background-color: #fff; color: #202122; text-align: center;">Version vom 1. Februar 2007, 15:23 Uhr</td>
</tr><tr><td colspan="2" class="diff-lineno" id="mw-diff-left-l1">Zeile 1:</td>
<td colspan="2" class="diff-lineno">Zeile 1:</td></tr>
<tr><td colspan="2"></td><td class="diff-marker" data-marker="+"></td><td style="color: #202122; font-size: 88%; border-style: solid; border-width: 1px 1px 1px 4px; border-radius: 0.33em; border-color: #a3d3ff; vertical-align: top; white-space: pre-wrap;"><div><ins style="font-weight: bold; text-decoration: none;">{{Vorlage:BrailleMaple}}</ins></div></td></tr>
<tr><td class="diff-marker"></td><td style="background-color: #f8f9fa; color: #202122; font-size: 88%; border-style: solid; border-width: 1px 1px 1px 4px; border-radius: 0.33em; border-color: #eaecf0; vertical-align: top; white-space: pre-wrap;"><div>Wir kommen nun zu dem (für uns) vielleicht mächtigsten Befehl von Maple: solve</div></td><td class="diff-marker"></td><td style="background-color: #f8f9fa; color: #202122; font-size: 88%; border-style: solid; border-width: 1px 1px 1px 4px; border-radius: 0.33em; border-color: #eaecf0; vertical-align: top; white-space: pre-wrap;"><div>Wir kommen nun zu dem (für uns) vielleicht mächtigsten Befehl von Maple: solve</div></td></tr>
<tr><td class="diff-marker"></td><td style="background-color: #f8f9fa; color: #202122; font-size: 88%; border-style: solid; border-width: 1px 1px 1px 4px; border-radius: 0.33em; border-color: #eaecf0; vertical-align: top; white-space: pre-wrap;"><div>Maple löst (fast) alle Gleichungen, auch Lineare Gleichungssysteme oder Ungleichungen mit einem Return.</div></td><td class="diff-marker"></td><td style="background-color: #f8f9fa; color: #202122; font-size: 88%; border-style: solid; border-width: 1px 1px 1px 4px; border-radius: 0.33em; border-color: #eaecf0; vertical-align: top; white-space: pre-wrap;"><div>Maple löst (fast) alle Gleichungen, auch Lineare Gleichungssysteme oder Ungleichungen mit einem Return.</div></td></tr>
</table>
MichaelSchaeffler
https://www.augenbit.de/wiki/index.php?title=(06_1)_L%C3%B6sen_von_Gleichungen&diff=1799&oldid=prev
Stephan am 30. Januar 2007 um 15:15 Uhr
2007-01-30T15:15:38Z
<p></p>
<p><b>Neue Seite</b></p><div>Wir kommen nun zu dem (für uns) vielleicht mächtigsten Befehl von Maple: solve<br />
Maple löst (fast) alle Gleichungen, auch Lineare Gleichungssysteme oder Ungleichungen mit einem Return.<br />
<br />
> restart;<br />
<br />
==Grundlegendes zu solve==<br />
===Definition einer Gleichung, Lösung und Probe===<br />
> gl1:=3*x-5=8;<br />
<br />
> solve(gl1);<br />
<br />
> subs(x=%,gl1); Gleich die Probe !<br />
<br />
===Varianten im Umgang mit solve===<br />
Was rechnet Maple aus ?<br />
<br />
> solve(3*x-5);<br />
<br />
> solve(3*x-5=8);<br />
<br />
> solve(3*x-5-8);<br />
<br />
Was berechnet Maple, wenn dem Befehl solve nur ein Term übergeben wird ?<br />
<br />
===Eine Gleichung enthält mehrere Variablen===<br />
<br />
> gl2:= 4*x-a=9;<br />
<br />
Wir versuchen die Lösung wie vorher zu erhalten. Seltsames Ergebnis ?? Oder doch nicht ?<br />
<br />
> solve(gl2);<br />
<br />
> solve(gl2,x);<br />
<br />
> solve(gl2,a);<br />
<br />
Fazit: Was ist also zu beachten ?<br />
==Quadratische Gleichungen==<br />
'''Erwartete Ergebnisse: Quadratische Gleichungen'''<br />
> gl3:=x^2+5*x-6=0;solve(gl3);<br />
<br />
<br />
> gl4:=4*x^2-8*x-1=0;solve(gl4);evalf(%,3);<br />
<br />
<br />
<br />
> gl5:=x^2-2*x+1=0;solve(gl5);<br />
<br />
<br />
Ist die Lösungsangabe von gl5 nicht komisch ?<br />
> factor(gl5); Nun klar ? Nebenbei: Der Befehl factor funktioniert auch bei einer Gleichung !!<br />
<br />
> gl6:=x^2+6*x+t=0;solve(gl6,x);<br />
<br />
<br />
> factor(gl6);<br />
<br />
'''Was macht Maple nun ?'''<br />
Achtung: Jetzt wird es abenteuerlich. Berechne die Lösungsmenge mit Papier und Bleistift. Was stellst du fest ?<br />
<br />
> gl7:=2*x^2+3*x+5=0;solve(gl7);<br />
<br />
> factor(gl7);<br />
<br />
'''Hoffentlich etwas ganz Bekanntes'''<br />
<br />
> QGL:=a*x^2+b*x+c=0;Mitternachtsformel:=solve(QGL,x);<br />
<br />
==Weitere Gleichungen==<br />
===Grad ist höher als 2===<br />
<br />
> x^4-13*x^2+36=0;solve(%);factor(%%);<br />
<br />
> x^3+8*x^2-9*x=0;solve(%);factor(%%);<br />
<br />
> 2*x^6-22*x^4+36*x^2=0;solve(%);factor(%%);<br />
<br />
> x^5-10*x^4+39*x^3-74*x^2+68*x-24=0;solve(%);factor(%%);<br />
<br />
> (x^2+2)^2+3*(2*x+1)=(3*x+1)^2;solve(%);factor(%%);<br />
<br />
===Bruchgleichungen mit Probe===<br />
> gl8:=1/x^2+1/(2*x)=3;solve(gl8);<br />
<br />
> subs(x=-1/2,gl8);subs(x=2/3,gl8);<br />
<br />
> gl9 := (x+11)/(2*x+1)=(x+3)/(5+x);solve(gl9);<br />
<br />
> subs(x=-4,gl9);subs(x=13,gl9);<br />
<br />
> gl10:=x/a-a/x=3/2;solve(gl10,x);<br />
<br />
> subs(x=-1/2*a,gl10);subs(x=2*a,gl10);<br />
<br />
<br />
===Wurzelgleichungen mit Probe===<br />
> gl11:=sqrt(x-2)+14=x;solve(gl11);<br />
<br />
> subs(x=18,gl11);evalf(%);<br />
<br />
'''Kleine Zusatzrechnung'''<br />
<br />
> lhs(gl11)-14;LS:=%^2;rhs(gl11)-14;%^2;RS:=expand(%);<br />
<br />
> gl12:=LS=RS;solve(%);<br />
<br />
> subs(x=11,gl11);evalf(%);<br />
<br />
Maple hat die Probe offensichtlich schon gemacht; wir hätten mit Papier und Bleistift auch x = 11 als Lösung gefunden. Sie hätte aber auch bei uns nicht die Probe bestanden.<br />
<br />
===Schöne Wurzeln===<br />
Maple kann schöne Wurzeln schreiben:<br />
<br />
> gl13:=sqrt(x+sqrt(x))=30;solve(gl13);<br />
<br />
> subs(x=%,gl13);evalf(%);<br />
<br />
===Trigonometrische Gleichungen===<br />
<br />
> solve(sin(x) = 0.75);<br />
<br />
Später mehr.<br />
<br />
==Numerische Lösungen mit fsolve==<br />
Mit fsolve (floating) kann man Maple anweisen, gleich numerische Lösungen zu suchen:<br />
<br />
> gl7;<br />
<br />
Vergleiche:<br />
<br />
> solve(gl7); <br />
<br />
> fsolve (gl7); Es gibt keine reelle Lösung.<br />
<br />
> 3*x^2-5*x-4;fsolve(%);<br />
<br />
Fsolve gibt also nur reelle Lösungen an.<br />
<br />
==Lineare Gleichungssyteme (LGS)==<br />
===Eindeutige Lösungen===<br />
Die Gleichungen und die Variablen, nach denen aufgelöst werden soll, müssen solve in einer Mengenklammer (Alt GR+7 bzw 0) übergeben werden.<br />
<br />
> lg1:=5*x-2*y=24;lg2:=x+3*y=-2;<br />
<br />
> solve({lg1,lg2},{x,y});<br />
<br />
> lg3:=x+y+z=6;lg4:=-x+2*y-3*z=-7;lg5:=-x-4*y+2*z=-3;solve({lg3,lg4,lg5},{x,y,z});<br />
<br />
<br />
===Keine oder unendlich viele Lösungen===<br />
Es folgt eine unlösbares LGS. Maple verfährt nach dem Motto: "Keine Antwort ist auch eine Antwort".<br />
<br />
> solve({x-2*y=-2,x-2*y=2},{x,y});<br />
<br />
Beispiel für unendlich viele Lösungen:<br />
<br />
> solve({x-2*y=-2,-x+2*y=2},{x,y});<br />
<br />
Interpretiere diese Lösungsmenge. Gib 3 verschiedene Lösungspare an.<br />
<br />
==Ungleichungen==<br />
<br />
> ugl1:=x-2<3;<br />
<br />
> solve(ugl1);<br />
<br />
Schau dir diese Lösungsdarstellung von Maple an: Alle reellen Zahlen, die kleiner als 5 sind.<br />
<br />
Es gibt auch eine für uns leichter lesbare Darstellung:<br />
<br />
> solve(ugl1,{x});Die Lösungsmenge als Menge (also mit geschweiften Klammern)<br />
<br />
> ugl2:=x^2+x-2>0;solve(ugl2,{x});Wo liegt die Parabel über der x-Achse ?<br />
<br />
Die beiden Lösungsmengen müssen mit oder verknüpft werden. Skizziere zum besseren Verständnis die Parabel in ein Koordinatensystem.<br />
<br />
Wir nehmen diesselbe Parabel und wollen wissen, für welche x-Werte das Schaubild unter der x-Achse liegt.<br />
Betrachte vor allem die neue Schreibweise der Lösungsmenge: Nur eine Klammer. Verknüpfung der beiden Ungleichungen mit und.<br />
<br />
> ugl3:=x^2+x-2<0;solve(ugl3,{x});<br />
<br />
<br />
<br />
==Kopendium:==<br />
[[Media:06_1_Lösen_von_Gleichungen.mws]]<br />
<br />
'''Bei Verwendung von Firefox Worksheet.mws mit rechter Maustaste (Kontextmenütaste) herunterladen.'''<br />
<br />
<br />
<br />
[[Beispiele]]<br />
<br />
<br />
[[Kategorie:Maple]]</div>
Stephan