Ableiten und Integrieren: Unterschied zwischen den Versionen

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f3 := 4
f3 := 4


Diese Variante funktioniert zwar auch bei schwierigeren Funktionen, ist dann aber u.U. umstndlich. Fr eine einfachere Variante siehe
Diese Variante funktioniert zwar auch bei schwierigeren Funktionen, ist dann aber u.U. umständlich. Für eine einfachere Variante siehe
[[Ableitung]]
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Version vom 9. Februar 2007, 10:55 Uhr

Ableiten und Integrieren (Integralrechnung)

Ableitungen D

Sicher hat mancher schon bemerkt, dass D nicht als Variable benutzt werden kann. Die Fehlermeldung von Maple meldet, dass D eine geschütze Variable ist.

In der Tat: Mit D werden die Ableitungen ermittelt. Maple gibt, was sehr geschickt ist, die Ableitungen sofort wieder als Funktionen aus.

Eingabe der Funktion f: > f:=x->2/3*x^3-2*x^2+3;

f := x -> 2/3*x^3-2*x^2+3

Bildung der ersten drei Ableitungen:

> f1:=D(f);f2:=D(f1);f3:=D(f2);

f1 := x -> 2*x^2-4*x

f2 := x -> 4*x-4

f3 := 4

Diese Variante funktioniert zwar auch bei schwierigeren Funktionen, ist dann aber u.U. umständlich. Für eine einfachere Variante siehe Ableitung

Zeichnung von f mit allen Ableitungen

plot([f(x),f1(x),f2(x),f3(x)],x=-3..5,y=-8..11,color=[black,red, blue,green]);

Bildung der Stammfunktion int

Mit int(f(x),x) wird die Stammfunktion ermittelt. Leider wird sie nicht als Funktion ausgegeben. Man muß mit dem Befehl unapplay nachhelfen.

Term der Stammfunktion ermitteln:

> int(f(x),x);

1/6*x^4-2/3*x^3+3*x

Umwandeln in eine Funktion:

> F:=unapply(%,x);

F := x -> 1/6*x^4-2/3*x^3+3*x

Alle Stammfunktionen von f:

> F(x)+c;Fc:=unapply(%,x);

1/6*x^4-2/3*x^3+3*x+c

Fc := x -> 1/6*x^4-2/3*x^3+3*x+c

Zusatz: Bestimmung einer Stammfunktion durch P [r,s]

> r:=2:s:=5:Fc(r) = s;'c'=solve(%,c);

10/3+c = 5

c = 5/3

Integral Int (f(x),x=a..b) int(f(x),x=a..b)

Große Schreibweise: Maple schreibt das Integral symbolisch

Kleine Schreibweise: Maple berechnet den Wert des Integrals

> Int(f(x),x=a..b);

Int(2/3*x^3-2*x^2+3,x = a .. b)

> Stammfunktion:=int(f(x),x);

Stammfunktion := 1/6*x^4-2/3*x^3+3*x

> a:=-1/2:b:=3:Int(f(x),x=a..b)=int(f(x),x=a..b);

Int(2/3*x^3-2*x^2+3,x = -1/2 .. 3) = 189/32

Integralfunktion

> Intfunk:=unapply(int(f(x),x=a..x),x);

Intfunk := x -> 1/6*x^4+45/32-2/3*x^3+3*x

Zur Kontrolle: Wert der Integralfunktion der linken Grenze muß Null sein; der Wert der rechten Grenze muß dem gesamten Flächeninhalt entsprechen

> Intfunk(a);Intfunk(b);

0

189/32

Zeichnung von f (schwarz), Integralfunktion (blau), Integrationsgrenzen (rot):

> plot([f(x),[[a,0],[a,f(a)]],[[b,0],[b,f(b)]],Intfunk(x)],x=-5..5,y=-7..11,color=[black,red,red,blue]);


Produktregel, Quotientenregel und Kettenregel

> restart;

> f:=x->f(x);g:=x->g(x);

f := x -> f(x)

g := x -> g(x)

Produkt zweier Funktionen

> p:=x->f(x)*g(x);

p := x -> f(x)*g(x)

Produktregel

> p1:=D(p);

Error, (in D/_procname) too many levels of recursion


Quotient zweier Funktionen

> q:=x->f(x)/g(x);

q := x -> f(x)/g(x)

Quotientenregel

> q1:=D(q):q1(x):q1:=normal(%);

Verkettete Funktionen

> k:=x->f(x)@g(x);k(x);

k := x -> `@`(f(x),g(x))

Kettenregel

> k1:=D(k(x));

Beispiel: Flächen zwischen zwei Kurven

Beispiel: Flächen zwischen einer Kurve und der x-Achse

Media:Ableiten_und_Integrieren.mws