(06 1) Lösen von Gleichungen: Unterschied zwischen den Versionen

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Wir kommen nun zu dem (für uns) vielleicht mächtigsten Befehl von Maple: solve
 
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Maple löst (fast) alle Gleichungen, auch Lineare Gleichungssysteme oder Ungleichungen mit einem Return.
 
Maple löst (fast) alle Gleichungen, auch Lineare Gleichungssysteme oder Ungleichungen mit einem Return.

Version vom 1. Februar 2007, 16:23 Uhr

Wir kommen nun zu dem (für uns) vielleicht mächtigsten Befehl von Maple: solve Maple löst (fast) alle Gleichungen, auch Lineare Gleichungssysteme oder Ungleichungen mit einem Return.

> restart;

Grundlegendes zu solve

Definition einer Gleichung, Lösung und Probe

> gl1:=3*x-5=8;

> solve(gl1);

> subs(x=%,gl1); Gleich die Probe !

Varianten im Umgang mit solve

Was rechnet Maple aus ?

> solve(3*x-5);

> solve(3*x-5=8);

> solve(3*x-5-8);

Was berechnet Maple, wenn dem Befehl solve nur ein Term übergeben wird ?

Eine Gleichung enthält mehrere Variablen

> gl2:= 4*x-a=9;

Wir versuchen die Lösung wie vorher zu erhalten. Seltsames Ergebnis ?? Oder doch nicht ?

> solve(gl2);

> solve(gl2,x);

> solve(gl2,a);

Fazit: Was ist also zu beachten ?

Quadratische Gleichungen

Erwartete Ergebnisse: Quadratische Gleichungen > gl3:=x^2+5*x-6=0;solve(gl3);


> gl4:=4*x^2-8*x-1=0;solve(gl4);evalf(%,3);


> gl5:=x^2-2*x+1=0;solve(gl5);


Ist die Lösungsangabe von gl5 nicht komisch ? > factor(gl5); Nun klar ? Nebenbei: Der Befehl factor funktioniert auch bei einer Gleichung !!

> gl6:=x^2+6*x+t=0;solve(gl6,x);


> factor(gl6);

Was macht Maple nun ? Achtung: Jetzt wird es abenteuerlich. Berechne die Lösungsmenge mit Papier und Bleistift. Was stellst du fest ?

> gl7:=2*x^2+3*x+5=0;solve(gl7);

> factor(gl7);

Hoffentlich etwas ganz Bekanntes

> QGL:=a*x^2+b*x+c=0;Mitternachtsformel:=solve(QGL,x);

Weitere Gleichungen

Grad ist höher als 2

> x^4-13*x^2+36=0;solve(%);factor(%%);

> x^3+8*x^2-9*x=0;solve(%);factor(%%);

> 2*x^6-22*x^4+36*x^2=0;solve(%);factor(%%);

> x^5-10*x^4+39*x^3-74*x^2+68*x-24=0;solve(%);factor(%%);

> (x^2+2)^2+3*(2*x+1)=(3*x+1)^2;solve(%);factor(%%);

Bruchgleichungen mit Probe

> gl8:=1/x^2+1/(2*x)=3;solve(gl8);

> subs(x=-1/2,gl8);subs(x=2/3,gl8);

> gl9 := (x+11)/(2*x+1)=(x+3)/(5+x);solve(gl9);

> subs(x=-4,gl9);subs(x=13,gl9);

> gl10:=x/a-a/x=3/2;solve(gl10,x);

> subs(x=-1/2*a,gl10);subs(x=2*a,gl10);


Wurzelgleichungen mit Probe

> gl11:=sqrt(x-2)+14=x;solve(gl11);

> subs(x=18,gl11);evalf(%);

Kleine Zusatzrechnung

> lhs(gl11)-14;LS:=%^2;rhs(gl11)-14;%^2;RS:=expand(%);

> gl12:=LS=RS;solve(%);

> subs(x=11,gl11);evalf(%);

Maple hat die Probe offensichtlich schon gemacht; wir hätten mit Papier und Bleistift auch x = 11 als Lösung gefunden. Sie hätte aber auch bei uns nicht die Probe bestanden.

Schöne Wurzeln

Maple kann schöne Wurzeln schreiben:

> gl13:=sqrt(x+sqrt(x))=30;solve(gl13);

> subs(x=%,gl13);evalf(%);

Trigonometrische Gleichungen

> solve(sin(x) = 0.75);

Später mehr.

Numerische Lösungen mit fsolve

Mit fsolve (floating) kann man Maple anweisen, gleich numerische Lösungen zu suchen:

> gl7;

Vergleiche:

> solve(gl7);

> fsolve (gl7); Es gibt keine reelle Lösung.

> 3*x^2-5*x-4;fsolve(%);

Fsolve gibt also nur reelle Lösungen an.

Lineare Gleichungssyteme (LGS)

Eindeutige Lösungen

Die Gleichungen und die Variablen, nach denen aufgelöst werden soll, müssen solve in einer Mengenklammer (Alt GR+7 bzw 0) übergeben werden.

> lg1:=5*x-2*y=24;lg2:=x+3*y=-2;

> solve({lg1,lg2},{x,y});

> lg3:=x+y+z=6;lg4:=-x+2*y-3*z=-7;lg5:=-x-4*y+2*z=-3;solve({lg3,lg4,lg5},{x,y,z});


Keine oder unendlich viele Lösungen

Es folgt eine unlösbares LGS. Maple verfährt nach dem Motto: "Keine Antwort ist auch eine Antwort".

> solve({x-2*y=-2,x-2*y=2},{x,y});

Beispiel für unendlich viele Lösungen:

> solve({x-2*y=-2,-x+2*y=2},{x,y});

Interpretiere diese Lösungsmenge. Gib 3 verschiedene Lösungspare an.

Ungleichungen

> ugl1:=x-2<3;

> solve(ugl1);

Schau dir diese Lösungsdarstellung von Maple an: Alle reellen Zahlen, die kleiner als 5 sind.

Es gibt auch eine für uns leichter lesbare Darstellung:

> solve(ugl1,{x});Die Lösungsmenge als Menge (also mit geschweiften Klammern)

> ugl2:=x^2+x-2>0;solve(ugl2,{x});Wo liegt die Parabel über der x-Achse ?

Die beiden Lösungsmengen müssen mit oder verknüpft werden. Skizziere zum besseren Verständnis die Parabel in ein Koordinatensystem.

Wir nehmen diesselbe Parabel und wollen wissen, für welche x-Werte das Schaubild unter der x-Achse liegt. Betrachte vor allem die neue Schreibweise der Lösungsmenge: Nur eine Klammer. Verknüpfung der beiden Ungleichungen mit und.

> ugl3:=x^2+x-2<0;solve(ugl3,{x});


Kopendium:

Media:06_1_Lösen_von_Gleichungen.mws

Bei Verwendung von Firefox Worksheet.mws mit rechter Maustaste (Kontextmenütaste) herunterladen.


Beispiele